トーク：出典の事実をもとにした再構成。相手は架空の読者（右の吹き出し）。トークの中身：5つの定数とオイラーの等式という名前①、本人が書いた記録ははっきりしない①。
e^iπ＋1＝0 は「オイラーの等式」と呼ばれます①。1990年、数学の雑誌『Mathematical Intelligencer』の読者投票で「数学で最も美しい定理」に選ばれ、2004年には物理の雑誌『Physics World』の読者投票で、マクスウェル方程式と並んで「史上最も偉大な式」に選ばれました①。
でも、この式のいちばんの謎は、美しさではありません。i です。
デカルトは、こう名づけました。 2乗すると −1 になる数。そんな数は、ふつうの数の中にはありません。1637年、デカルトはこれを「imaginary（想像上の）」と呼びました。実在しない、という意味をこめた呼び名です③⑦。それより前、16世紀のカルダーノも、負の数の平方根を「巧妙だが役に立たない」と書いています③。
でも、ここはまだ分かっていないままでした。 この「ありえない数」は、計算の途中にだけ出てくるおまけなのか。それとも、何かを表しているのか。
2乗すると −1 になる「ありえない数」が、なぜ電気や電子の計算に欠かせないのか？
オイラー①（記号と書き方）→ オイラー②（いまここ） → 交流（テスラ）・波 → 量子力学（ファインマン）
虚数を平面に描いた線は、ガウス②にもつながっています
オイラーの等式（e^iπ＋1＝0）／オイラーの公式（e^ix＝cos x＋i sin x）／虚数単位 i（記号はオイラー）／ガウス平面（複素平面）
WHEN ｜ 時代背景忠臣蔵が初めて演じられた年に、指数と三角がつながった
1748年。フランスではモンテスキューが『法の精神』を出し、ヨーロッパではアーヘンの和約で1つの戦争が終わりました⑩。日本では、大坂の竹本座で『仮名手本忠臣蔵』が初めて演じられています⑩。
同じ年、プロイセンのベルリンで、オイラーは『無限解析入門』を出しました②⑨⑩。その中に、指数関数と三角関数を1本でつなぐ式がありました。
虚数が「想像上の数」と呼ばれてから、この1748年まで約110年。そこから、虚数が平面の上の点として描かれるまで、さらに約50年かかります③④。そして、その数が交流の電気や、原子の中の電子を書く言葉になるのは、19世紀の終わりから20世紀にかけてです⑤⑥。
その式を書いた人は、どんな人生を送ったのか？
WHO ｜ 挑戦者目を失いながら、数学の書き方を作った人
（年齢は生年と出来事の年からの計算）
レオンハルト・オイラーは1707年、スイスのバーゼルに生まれ、20歳でロシアのサンクトペテルブルクの学士院へ、34歳でベルリンの学士院へ移りました⑧⑨。
今の教科書の f(x)、e、Σ、i は、どれもオイラーが使い始めた書き方です⑧⑨。31歳で片目の視力を失い、59歳でもう片方の目も見えなくなりましたが、息子たちや助手を書き手にして、亡くなるまで論文を書き続けました⑧⑨。書き方を作った話と、人生の結末は、オイラー①のページで詳しく追っています。
このページの主役は、1748年の1本の式と、1777年の1文字です。
主な成果 転落・対立
- バーゼル
- 17070歳バーゼル 4月15日に生まれる⑧⑨
- 172013歳バーゼル大学 大学に入る。ヨハン・ベルヌーイに見いだされる⑧⑨
- サンクトペテルブルク（1回目）
- 172720歳学士院 数学・物理の部門へ。e の文字を使い始める⑧
- 173427歳関数を f(x) と書き始める⑧⑨
- 173831歳片目がほとんど見えなくなる⑧⑨転落
- 1740ごろ33歳ごろ指数関数と三角関数の級数を比べ、公式に気づく②
- ベルリン（約25年）
- 174134歳ベルリンの学士院 フリードリヒ大王の誘いで移る⑧⑨
- 174841歳『無限解析入門』でオイラーの公式を発表②⑨成果
- 175548歳『微分学教程』で和の記号 Σ を使う⑧
- サンクトペテルブルク（2回目）
- 176659歳学士院 戻る。▼ もう片方の目も白内障で、ほぼ全盲に⑧⑨
- 177164歳家が火事に。手術のあとは全盲⑧転落
- 177568歳書き手の助けで、平均して週1本の論文⑨
- 177770歳虚数の単位を i と書く⑦⑧成果
- 178376歳9月18日、サンクトペテルブルクで死去⑧⑨
その1本の式は、何をつないだのか？
WHAT ｜ 達成した事起こし増え続ける数と、くり返す波が、1本の式でつながった
オイラーの公式
e^ix＝cos x＋i sin x。指数関数と三角関数を1本でつなぐ（気づいたのは1740年ごろ／発表は1748年）②
指数関数と三角関数は、まったく別のもの虚数の単位を i と書く
⑦⑧
虚数は、名前を付けて扱う「数」ではない（「想像上の数」）③⑦オイラーの等式
e^iπ＋1＝0。公式に x＝π を入れると出る①
有名な式は、名前のついた本人が書いたもの①指数関数は、e^x のように、x が増えると急に大きくなっていく数です。三角関数の cos と sin は、角度が1周するたびに同じ値に戻る、波の形の数です。片方は増え続け、片方はくり返す。どう見ても別物でした。
では、e の i 乗とは何でしょう。e を「i 回」掛けることはできません。そこで、e^x を長い足し算（級数）で書いておき、その x に ix を入れたものを e^ix と決めます。すると足し算の部品が、cos x の部品と、i のついた sin x の部品に分かれるんです②。
オイラーは1748年、この2つが、虚数 i をはさむと1本の式でつながることを示しました。e^ix＝cos x＋i sin x。今「オイラーの公式」と呼ばれる式です②。
この公式の x に π を入れると、cos π は −1、sin π は 0 なので、e^iπ＝−1。両辺に1を足すと、冒頭の1行 e^iπ＋1＝0 になります①。
ただ、この公式の近くまで、オイラーより先に来ていた人たちもいました。
別々に見える2つの式が、同じ部品でできていると気づいたら、あなたならどうする？
CROSSROADS ｜ 分かれ道増える関数と、くり返す関数。並べたら、同じ部品が出てきた
あなたは1740年ごろのオイラーです。
指数関数 e^x と、三角関数 cos x・sin x。どちらも、x の1乗・2乗・3乗……を足し合わせた、長い足し算（級数）の形で書けます。並べて比べていると、ある事に気づきます。e^x の x のところに「i を掛けた x」を入れると、足し算の部品が、cos x の部品と sin x の部品に、きれいに分かれていくように見える②。
でも i は、「想像上の数」です。実在しない数を入れて出てきた一致に、意味はあるのでしょうか。
この違和感を目にしたとき、あなたならどうする？
Aこれまでの見方を受け取る：i は実在しない数。形が似たのは偶然として、深入りしないタップして、その先へ
B式として書き、公にする：指数と三角を結ぶ1本の式として書き出し、本に載せてほかの計算に使うタップして、その先へ
C確かめる：いろいろな x で両辺を計算し、本当に等しいかを1つずつ確かめるタップして、その先へ
D意味を待つ：i が何を表すのか、図や実物で説明できるまで、発表を控えるタップして、その先へ
オイラーが進んだ道は B。
その式は、どう書かれ、どう意味を持っていったのか？
HOW ｜ 泥沼の攻略法長い足し算を並べ、i で1本につなぎ、あとから「回転」の意味がついた
スライドの中身：出典の事実をもとにした再構成です（本人の発表の記録ではありません）。
まず、先に来ていた人たちです。イギリスのコーツは1714年に、ほぼ同じ式にたどり着く幾何の議論を出していました。ただ √−1 を置く場所がずれていて、それを直すとオイラーの公式になります②。オイラーの師ヨハン・ベルヌーイも、関連する式を得ていましたが、虚数の対数を十分には分かっていませんでした②。オイラーは級数を並べる方法で、それを1本の式として示したんです②。
次に、意味は後から来たことです。オイラーの公式は、式としては1748年に出ました。でも「i が何を表すのか」を目に見える形にしたのは、ほかの人たちでした。1797年、デンマークの測量士ヴェッセルが、複素数を平面の上の点として描く論文を出します。1806年にはアルガンも④。1831年、ガウスが同じ考えを論文で示し、今の書き方と用語をほぼ定めました③。
その平面で見ると、i の正体がはっきりします。
平面の横の軸に、ふつうの数（1、2、3……）を並べます。1 に i を掛けると i。i に i を掛けると −1。−1 に i を掛けると −i。もう1回掛けると、1 に戻ります⑦。
1 → i → −1 → −i → 1。平面の上では、これは「90度ずつ回って、4回で1周」です②④。
オイラーの公式の e^iφ も、φ を大きくすると、半径1の円の上をぐるりと回ります②。φ が π（180度）のとき、ちょうど反対側の −1 に着く。これが e^iπ＝−1 の意味です。
ありえない数は、回す数だったんです。そして回転は、波でもあります。円の上を回る点を横から見ると、上下にゆれる波（sin）になるからです。
家のコンセントの電気（交流）は、向きが行ったり来たりする波です。19世紀の終わり、ゼネラル・エレクトリック社のスタインメッツは、交流の回路を複素数で計算する方法（フェーザー）を始めました。コイルやコンデンサーのはたらきも、複素数で表せます⑤。くり返す信号を虚数の指数で書くと扱いやすいので、電気工学や信号の処理で使われています②。
1926年に発表されたシュレーディンガーの方程式は、原子の中の電子のふるまいを書く量子力学の基本の式です。その式には i が入っていて、答えの「波動関数」は、各点に複素数を割り当てたものです⑥。
その美しい1行の裏で、何が起きていたのか？
DARK SIDE ｜ 失敗と苦悩の記録名前と手柄は、いつも行き違う
- 1714年先に来ていたのはコーツ。でも式の名前はオイラーに②
- 1748年オイラーが出したのは公式。等式の1行は、誰が最初に書いたか分からない①②
- 1797年→1831年最初に平面に描いたのはヴェッセル。でも図の名前は「ガウス平面」に③④
- のちに物理学者ファインマンが「我々の宝石」と呼んだのは、等式ではなく公式のほう②
「オイラーの等式」という名前ほど、手柄と名前が行き違っている式は、珍しいかもしれません。
ロビン・ウィルソンは、「オイラーでさえ、この式を明示的には書き下していないようだ。少なくとも、彼のどの出版物にも出てこない」と書いています①。オイラーが出したのは公式（e^ix＝cos x＋i sin x）で、そこに π を入れた1行を、最初に誰が書いたのかは分かっていません①。
物理学者ファインマンの言葉も、よく取り違えられます。ファインマンが「我々の宝石」「数学で最も驚くべき式」と呼んだのは、等式ではなく公式のほうです②。
虚数を描く図も同じです。名前が残ったのは、最初に描いたヴェッセルではなく、ガウスでした④。
そして、何百年も「役に立たない」「想像上の」と呼ばれ続けた i。数学者ベンジャミン・パースは、講義で等式を証明したあと、こう言ったといいます。「まったく逆説的だ。私たちには理解できないし、何を意味するのかも分からない。でも私たちはそれを証明した。だから、それが真実に違いないと分かるのだ」①。
それでも、この式の何がすごかったのか？
WHY ｜ なぜそれが凄かったのか意味が分かる前に、使える形で出した
2乗すると −1 になる数が電気や電子の計算に欠かせないのは、i を掛けることが「90度回す」ことで、オイラーの公式によって、くり返す波を円の上の回転として書けるからです。交流も、信号も、原子の中の電子の波も、回転として計算できます。
ガウスは1831年に、こう書いています。「+1、−1、√−1 を、正・負・虚の単位と呼ばず、順・逆・横の単位と呼んでいれば、暗さの話にはならなかっただろう」③。i は「想像上」ではなく「横向き」の数だった。名前が、200年近く人の目をくもらせていたのかもしれません。
― いまの私たちへ ―
呼び名に引きずられず、何をするものかで見る
「想像上の数」と名づけられた数は、長いあいだ役に立たないものとして扱われました。ガウスは「横の単位と呼んでいれば」と書いています。
職場でも、「お試し」「おまけの機能」「雑用」と呼ばれた仕事が、実は大事な役目を果たしていることがあります。呼び名ではなく、それが何をしているのかで見直してみる。
別物に見える2つは、部品に分けて並べる
オイラーは、増え続ける関数とくり返す関数を、長い足し算の部品に分けて並べたことで、同じものの2つの顔だと気づきました。
2つの部署の困りごと、2つの指標の動き。別々に見えるものも、部品に分けて並べると、同じ原因でつながっていることがあります。
あなたの周りで、呼び名のせいで軽く見られているものは何でしょうか？
i は、回転と波を書く数だった。分からなかったことが、1つ分かったんです。
でも、分かったら、次の分からないことが生まれました。
虚数は、計算を楽にする道具にすぎないのか。それとも、自然そのものに入っているのか。 交流の計算なら、複素数で書いた式の「実数の部分」が、もとの電気の波そのものです⑤。虚数は、計算を楽にするために借りてくる道具でした。ところが1926年のシュレーディンガーの方程式では、電子の状態を書く式そのものに i が入っています⑥。この問いの続きは、量子力学の線、ファインマンのページで。
もう1つの行き先は、交流の電気です。交流のモーターで電気の時代を開いたテスラのページへ。そして、虚数を「横の単位」と呼び、1831年に複素数を平面の点として描く論文を出したガウスは、のちに「曲がった空間」を測る数学も作りました。ガウス②のページもどうぞ。
出典
冒頭のトークは、出典①の事実をもとにした再構成で、会話そのものの記録ではありません。岐路の場面（級数を並べて比べる）は、出典②の「1740年ごろ、指数関数と三角関数の級数を比べて公式に気づいた」という記述をもとに組み立てたもので、オイラーのそのときの考えの記録ではありません。「i を掛けると90度回る」という見方は、ヴェッセル・アルガン・ガウスの複素平面から来たもので、オイラー本人の説明ではありません。
- ① Wikipedia「Euler's identity」https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_identity（5つの定数・1990年と2004年の読者投票・ウィルソン「オイラーでさえ明示的には書き下していないようだ」・誰が最初に書いたかは不明・パースの言葉〈後半の「証明したのだから真実に違いない」まで〉。参考。確認日 2026-10-18）
- ② Wikipedia「Euler's formula」https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula（1714年コーツ・ヨハン・ベルヌーイ・1740年ごろ級数を比べる・e^z は級数で決め、z＝ix を入れると cos と sin に分かれる・1748年『無限解析入門』・単位円と回転・信号処理・ファインマン「我々の宝石」「数学で最も驚くべき式」〈『ファインマン物理学』第1巻 p.22-10〉。参考。確認日 2026-10-18）
- ③ Wikipedia「Complex number」https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number（カルダーノ「巧妙だが役に立たない」・デカルト1637・ガウス1831の論文と「順・逆・横の単位」。参考。確認日 2026-10-18）
- ④ Wikipedia「Complex plane」https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_plane（ヴェッセル1797・アルガン1806・ガウス平面の名前・絶対値1の複素数を掛けることは回転。参考。確認日 2026-10-18）
- ⑤ Wikipedia「Phasor」https://en.wikipedia.org/wiki/Phasor（交流の回路の複素数での計算・スタインメッツ・インピーダンス。参考。確認日 2026-10-18）
- ⑥ Wikipedia「Schrödinger equation」https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation（1925年に立て1926年に発表・式に i・波動関数は複素数の値。参考。確認日 2026-10-18）
- ⑦ Wikipedia「Imaginary unit」https://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit（i の記号はオイラー・デカルト1637・i の累乗が4回で1に戻る。参考。確認日 2026-10-18）
- ⑧ MacTutor History of Mathematics「Leonhard Euler」https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euler/（生没・経歴・目・火事・i の記号1777年・e・Σ。確認日 2026-10-18）
- ⑨ Wikipedia「Leonhard Euler」https://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler（生没・経歴・目・1748年『無限解析入門』・1775年に週1本。参考。確認日 2026-10-18）。オイラーの人生は、このサイトのオイラー①のページも
- ⑩ Wikipedia 日本語版「1748年」https://ja.wikipedia.org/wiki/1748年（モンテスキュー『法の精神』・アーヘンの和約・『仮名手本忠臣蔵』の初演・オイラー『無限解析入門』。参考。確認日 2026-10-18）
- ⑪ Wikipedia「Nikola Tesla」https://en.wikipedia.org/wiki/Nikola_Tesla（1856–1943・1888年5月の交流モーターの特許と実演。参考。確認日 2026-10-14）。テスラについては、このサイトのテスラのページも
オイラーの等式についてよくある質問
オイラーの等式（e^iπ＋1＝0）とは？
自然対数の底 e、虚数単位 i、円周率 π、そして 1 と 0 という、数学の基本の5つの数を1本でつないだ式です。オイラーが1748年に発表した公式 e^ix＝cos x＋i sin x に x＝π を入れると出てきます。ただし、オイラー本人がこの形で書いた記録ははっきりしていません。
オイラーの公式とは？ 何に使われている？
e^ix＝cos x＋i sin x という、指数関数と三角関数を虚数 i でつなぐ式です。複素数の平面では「半径1の円の上を回る」ことを表すので、くり返す波を回転として計算できます。交流の電気回路の計算、信号の処理、量子力学のシュレーディンガー方程式などで使われています。
オイラーの等式から何を学べる？
呼び名に引きずられず、それが何をするものかで見ることの大切さです。「想像上の数」と名づけられた虚数は、長く役に立たないものとされましたが、実は「回す数」として電気や量子力学に欠かせない道具でした。また、別物に見える2つを部品に分けて並べると、同じものの2つの顔だと分かることがある、という見方も仕事に生かせます。
このクエストから得た武器を装備する
「呼び名に引きずられず、何をするものかで見る」。
この思考を、今のあなたの仕事にどう適用しますか？