トーク：出典の事実をもとにした再構成。相手は架空の読者（右の吹き出し）。トークの中身：熱を分子の運動で説明する考え②、逆向きに動かせば元に戻るはずという反論（ロシュミットの反論）②、状態の数を数える1877年の考え②③。インクのたとえは、このページの説明用です。
当時の人たちは、こう考えていました。 カルノーのページで見たように、熱の理論はカルノーから始まり、クラウジウスが「エントロピー」という量と熱力学の第二法則にまとめました。閉じた世界では、エントロピーは増える一方で、減らない。熱は熱い所から冷たい所へ流れ、逆には流れない。ジュールのページで見たように、熱の正体は物（熱素）ではなく、運動だということも分かってきていました。
でも、ここはまだ分かっていないままでした。 熱が無数の分子の運動なら、なぜ一方向にしか進まないのか。一つひとつの分子の動きは、時間を逆に回しても成り立つ力学に従っているのに。エントロピーとは、分子の言葉でいえば、いったい何なのか。
ジュールのページの最後では、たくさんの分子の動きとして熱を数える考えが「のちに統計力学（ボルツマン）へ育っていきます」と予告していました。この人が、その続きです。
一つひとつの分子は逆向きにも動けるのに、なぜ全体は元に戻らないのか？
カルノー（熱機関の上限）・ジュール（熱は運動）→ ボルツマン（いまここ。熱を分子の数え上げで） → アインシュタイン③ブラウン運動（原子は本当にあるのか）／シャノン（同じ式が情報の世界へ）
WHEN ｜ 時代背景1877年、西南戦争の年に、エントロピーが「数え上げ」になった
1877年は、日本にとって大きな年でした。2月に西南戦争が始まり、9月まで続きます。同じ年の4月には東京大学が設立され、6月にはモースが大森貝塚を見つけています⑧。世界では、3月にチャイコフスキーのバレエ『白鳥の湖』が初めて上演され、12月にはエジソンが自作の蓄音機で、初めて人の声を録音しました⑧。音を「記録して再生する」機械が生まれた年です。
その1877年、オーストリアのグラーツで、ボルツマンはエントロピーを、分子の「状態の数」と結びつける論文を書きます②③。熱の法則が、数え上げの話に変わった年でした。
彼が亡くなった1906年は、4月にサンフランシスコで大地震が起き、日本では鉄道の国有化が決まり、南満洲鉄道が作られた年です⑨。
熱を数えようとしたのは、どんな人だったのか？
WHO ｜ 挑戦者大学を渡り歩き、教室をあふれさせた論争の人
（年齢は生年月日からの計算）
ルートヴィッヒ・ボルツマンは1844年、ウィーンに生まれました。父は税務の役人でした①②。ウィーン大学で学び、指導教官のシュテファンから、イギリスのマクスウェルの仕事を教わります①②。マクスウェルは、気体の分子の速さのばらつきを確率で表した人です（ジュールのページ）。ボルツマンは、この「確率で分子を扱う」考えを、熱の理論の真ん中へ持ち込んでいきました。
ボルツマンは、大学を渡り歩いた人でもあります。グラーツ、ウィーン、グラーツ、ミュンヘン、ウィーン、ライプツィヒ、そしてまたウィーン①②。いちばん長くいたのはグラーツで、そこでの14年は幸せな年月だったとされます②。統計で自然を見る考えを育てたのも、このグラーツでした②。
晩年のウィーンでは、論敵マッハが受け持っていた哲学の講義まで引き受けました。講義は大人気で、大学でいちばん大きな教室にも入りきらなくなったといいます①。マイトナー、エーレンフェストといった、のちの物理学者たちも、彼の弟子です②。
主な成果 転落・対立
- ウィーン（学生）
- 18440歳ウィーン 2月20日に生まれる。父は税務の役人①②
- 186622歳ウィーン大学 博士号。指導のシュテファンが、マクスウェルの仕事を教えた①②
- グラーツとウィーン（数え上げの理論）
- 186824歳ボルツマン分布②
- 1869〜187325〜29歳グラーツ 理論物理の教授①②
- 187228歳ボルツマン方程式と H 定理②成果
- 1873〜187629〜32歳ウィーン 数学の教授①②
- 187632歳7月17日、ヘンリエッテと結婚②
- 1876〜189032〜46歳グラーツ 実験物理の教授。幸せな14年だったとされる②
- 187733歳エントロピーと状態の数を結ぶ論文②③成果
- 188440歳シュテファン＝ボルツマンの法則を導く①②成果
- 論争の時代
- 1890〜189446〜50歳ミュンヘン ②
- 1894〜190050〜56歳ウィーン 1895年、リューベックの学会でオストヴァルトと論争。同じ年、マッハがウィーンに来る①
- 1900〜190256〜58歳ライプツィヒ 最大の論敵オストヴァルトが同僚に①②
- 1902〜190658〜62歳ウィーン マッハの哲学の講義も受け持つ。いちばん大きな教室に入りきらないほどの人気①
- 190662歳ドゥイーノ 9月5日、死去①②転落
グラーツの「幸せな年月」に、何が見つかったのか？
WHAT ｜ 達成した事起こし熱を、分子の「数え上げ」に変えた
無数の分子の速さの分布（ボルツマン分布）と、それが時間とともにどう変わるかの式（ボルツマン方程式）。H という量が減り続ける（H 定理）
②
熱の法則は、温度や圧力のような全体の量だけで書くものエントロピーは、その状態になる「並び方（微視的な状態）の数」の対数で表せる
②③
エントロピーは、熱と温度から計算する抽象的な量放射の強さは絶対温度の4乗に比例（シュテファン＝ボルツマンの法則）
①②
師シュテファンが1879年にまとめた4乗の決まりは、なぜそうなるかの分からない経験則①このページの主役は、1877年の2枚目です。
エントロピーとは何か。ボルツマンの答えは、「その状態になる並び方の数」でした。もう少し正確に言うと、並び方の数の対数（掛け算を足し算に変える計算）です。対数を使ったのは、数え上げを簡単にするためでした②③。
並び方の数と言われても、ピンとこないかもしれません。小さなたとえで数えてみます。
（説明用の計算で、史実ではありません）
箱を左右に分け、分子4個を入れます。分子は区別できるとします。
・4個全部が左にいる並び方：1通り
・左に3個、右に1個：4通り
・左右に2個ずつ：6通り
全部で16通りのうち、「全部が左」はたった1通り。「半々」は6通り。分子が4個でもこれだけ差がつきます。分子の数が、コップ1杯の水ほど（何兆の何兆倍）になると、「全部が片側に集まる」並び方は、ほかの並び方に比べて、ほとんどゼロになります。
インクが広がるのは、広がった状態の並び方が、圧倒的に多いからです。集まる道がないわけではない。ただ、その道は、ほかの道に比べて、あまりにも少ない。エントロピーが増えるとは、並び方の多い状態へ移っていくことだったんです②③。
式に出てくる W は、ドイツ語の Wahrscheinlichkeit（確率）の頭文字です。いまは「並び方（微視的な状態）の数」と読むのが普通ですが、これは歴史的には読み替えだとされます③。
「力学は逆に回せるはずだ」と言われたとき、あなたならどうする？
CROSSROADS ｜ 分かれ道逆向きに動かせば、元に戻るはず
あなたはボルツマンです。1872年、H 定理で「気体は時間とともに決まった分布に向かい、H という量は減り続ける」と示しました②。
ところが、こう反論されます。一つひとつの分子は、力学の法則に従って動いている。その動きをすべて逆向きにすれば、気体は元の状態に戻るはずだ。それなら、H がいつも減る、とは言えないのではないか（ロシュミットの反論）②。
この違和感を目にしたとき、あなたならどうする？
Aこれまでの見方を受け取る：力学は逆に回せる。だから、一方向に進む H 定理のほうがまちがっているタップして、その先へ
B計算をやり直す：H 定理の導き方のどこかに、見落としや誤りがあるかもしれない。式を一つずつ点検するタップして、その先へ
C「必ず」を「ほとんど必ず」に変える：戻ることはありうる。でも、戻る並び方は、広がる並び方に比べてけた外れに少ない。並び方を数えて、確率で考えるタップして、その先へ
D分子を捨てる：誰も見たことのない分子を持ち出すから、こんな矛盾が出る。温度やエネルギーのような、測れる量だけで熱を書くタップして、その先へ
ボルツマンが進んだ道は C。
何を、どう数えたのか？
HOW ｜ 泥沼の攻略法分子の状態を数え、対数をとった
スライドの中身：出典の事実をもとにした再構成です（本人の発表の記録ではありません）。
まず目を向けたいのは、問いの立て方を変えたことです。「分子はどう動くか」を一つずつ追いかけるのは、無理です。コップの水の分子は、数えきれないほどある。ボルツマンは、一つひとつの動きを追うのをやめて、「この全体の状態になる並び方は、何通りあるか」を数えました②③。
次が対数です。並び方の数は、分子が増えると、とんでもない大きさになります。しかも、2つの箱を合わせると、並び方の数は掛け算で増える。ところがエントロピーは、2つを合わせると足し算になる量です。掛け算を足し算に変える道具、それが対数でした。ボルツマンは、数え上げを簡単にするために対数を使っています②。
そして、反論への答えです。のちにツェルメロは、「力学の系は、いつかは元の状態の近くに戻ってくる」という数学の結果を使って反論しました。ボルツマンは、エントロピーは「いつも」ではなく「ほとんどいつも」増えるのであり、戻ってくるまでの時間は、長すぎて誰にも見られない、と答えています①。第二法則は、「絶対」の法則から、「ほとんど必ず」の法則に変わったんです。
ウィーン中央墓地にあるボルツマンの墓には、胸像とともに S = k log W という式が刻まれています②③。ただ、定数 k を入れたこの形に書いたのは、1900年ごろのプランクです。プランク自身が「エントロピーと確率の対数の関係を最初に述べたのはボルツマン」と書いています③。ボルツマンの考えを、のちにプランクがこの1行にまとめ、それが墓石に刻まれたんです。
見えない分子を数える理論は、どう受け止められたのか？
DARK SIDE ｜ 失敗と苦悩の記録原子を疑う人たちとの長い論争
- 1872年以降ロシュミットの反論。この論争は、ボルツマンが答えきれないまま終わったとされる②
- 1895年リューベックの学会で、原子を使わずエネルギーだけで自然を説明しようとするオストヴァルトと論争。ゾンマーフェルトは「ボルツマンの議論が勝った」と書いた①
- 1895年マッハがウィーン大学に来る。2人は個人的にも折り合いが悪かった①
- 1897年ボルツマンの講演のあと、マッハが「原子があるとは思わない！」と言ったと伝えられる⑥
- 1900〜1902年ライプツィヒで、最大の論敵オストヴァルトと同僚になる①②
- 1906年9月5日休暇先のドゥイーノで、自ら命を絶つ。62歳①②
- 1908〜1909年ペランの実験で、原子の実在が受け入れられていく②
ボルツマンの理論は、見えない原子・分子があることを前提にしていました。そこに正面から反対したのが、エネルギーだけで自然を説明しようとしたオストヴァルトと、見えないものを仮定することを嫌ったマッハです①⑥。
1895年、ドイツのリューベックの学会で、ボルツマンはオストヴァルトと論じ合います。その場にいたゾンマーフェルトは、「ボルツマンの議論が勝った」と書き残しています①。でも、論争はそれで終わりませんでした。同じ年、マッハがウィーン大学に哲学の教授としてやってきます。2人は、学問の上だけでなく、個人的にも折り合いが悪かったといいます①。1897年、ボルツマンの講演のあと、マッハは「原子があるとは思わない！」と言ったと伝えられています⑥。
ボルツマンも、すべての反論に答えられたわけではありません。逆向きに動かせば戻るはずだ、というロシュミットの反論をめぐる長い論争は、ボルツマンが答えきれないまま終わった、と評されています②。
1905年、ボルツマンはこう書いています。「微分方程式を使えば原子論を避けられると思う人には、森が木を隠してしまう」①。全体の式だけを見ていると、一つひとつの粒が見えなくなる、という意味です。
ボルツマンは、気分の落ち込みと高ぶりをくり返していました②。1906年9月5日、家族と休暇で訪れたトリエステ近くのドゥイーノで、自ら命を絶ちます。62歳でした①②。原因は分かっていません①。論争で考えが受け入れられなかったから、と語られることがありますが、それを裏づける記録はなく、心の病が原因だったかもしれないとされます①。原子の実在を決定づけたペランの実験が出たのは、その2〜3年後のことです②。
では、この人の何がすごかったのか？
WHY ｜ なぜそれが凄かったのか「絶対の法則」を、「数え上げの法則」に変えた
一つひとつの分子は逆向きにも動けるのに全体が戻らないのは、戻る並び方が、広がる並び方に比べて、けた外れに少ないからです。ボルツマンは、分子の動きを追いかけるのをやめ、状態の並び方を数えるという問いの立て方に変えて、それを示しました。戻らないのは、戻れないからではなく、戻る道がほとんどないからなんです。
ボルツマン定数 k ＝ 1.380 649 × 10⁻²³ J/K（ちょうど）。2019年5月20日から、国際単位系（SI）を決める7つの定数の1つになり、温度の単位ケルビンは、この値で決められています④⑤。それまでケルビンは水の三重点（氷・水・水蒸気が共存する温度）で決めていましたが、いまは分子1個あたりのエネルギーと温度を結ぶこの定数で決まっているんです⑤。名付けたのはプランクでした②。
ほかにも、シュテファン＝ボルツマンの法則（1884年。放射の強さは絶対温度の4乗に比例）、ボルツマン分布（1868年）、ボルツマン方程式と H 定理（1872年）に名前が残っています①②。
― いまの私たちへ ―
一つひとつを追えないときは、「何通りあるか」を数える
ボルツマンは、分子一つひとつの動きを追うのをやめ、「この状態になる並び方は何通りあるか」を数えました。
仕事でも、お客さま一人ひとりの行動を全部追いかけることはできません。でも、「この結果になる道すじは何通りあるか」「どの状態がいちばん起きやすいか」を数えると、全体の動きが読めるようになります。何もしなければ、物事は「起きやすい状態」へ流れていく。整った状態を保つには、手を入れ続ける必要があるんです。
「絶対」をあきらめて、「ほとんど必ず」で語る
ボルツマンは、第二法則を「いつも」から「ほとんどいつも」に変えました。それは弱さではなく、反論に耐える強さでした。
計画や見込みを話すとき、「必ずこうなります」と言い切ると、たった1つの例外で信用を失います。「9割がたこうなります。例外はこういうときです」と言えば、例外が起きても説明は崩れません。
あなたの仕事で、「放っておくと、起きやすい状態へ流れていく」ものは何でしょうか？
エントロピーとは並び方の数で、増えるのは並び方の多い状態へ移るから。分からなかったことが、1つ分かったんです。
でも、分かったら、次の分からないことが生まれました。その理論が前提にしている原子・分子は、本当にあるのか。
ボルツマンは、それを見届けられませんでした。水に浮かんだ小さな粒が、小刻みに動き続ける「ブラウン運動」。それを分子がぶつかる結果として計算し、原子があることを確かめる道を開いたのが、1905年のアインシュタインです（アインシュタイン③ブラウン運動のページ）。
そして、もう1つの続きがあります。1872年の H 定理に出てくる、H という量。その形の式が、76年後の1948年、まったく別の場所に現れます。電話会社の研究所で、「情報」を測る式として。その論文には、こう書かれていました。「H は、たとえばボルツマンの有名な H 定理の H である」⑦。しかも、どの場合も同じ確からしさのとき、この H は場合の数の対数（log n）になります⑦。墓石の log W と同じ形です。その続きは、シャノンのページで。
出典
冒頭のトークは、出典②③の反論と1877年の考えをもとにした再構成で、会話そのものの記録ではありません。インクと分子4個のたとえは、このページの説明用です。ボルツマン・ゾンマーフェルト・シャノンの言葉は、出典①⑦の英文からこのページで訳したものです。クラウジウス・ジュール・マクスウェルについての記述は、カルノー・ジュールのページの出典に拠ります。
- ① MacTutor History of Mathematics「Ludwig Boltzmann」https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Boltzmann/（生まれ・シュテファン・1879年のシュテファンの経験則と1884年の法則・1895年のリューベックの論争とゾンマーフェルトの言葉・マッハとの不仲・ライプツィヒ・晩年の講義の人気・ツェルメロへの答え・1905年「森が木を隠す」・死と原因が分からないこと。確認日 2026-10-18）
- ② Wikipedia「Ludwig Boltzmann」https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann（生没・各地の教授職・結婚・ボルツマン分布1868・方程式と H 定理1872・1877年の論文・ロシュミットの論争・弟子・気分の波・墓石・k の命名・ペラン。参考。確認日 2026-10-18）
- ③ Wikipedia「Boltzmann's entropy formula」https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann%27s_entropy_formula（S = k log W の形はプランク・プランクの言葉・W の意味と読み替え。参考。確認日 2026-10-18）
- ④ 国際度量衡局（BIPM）「SI defining constants」https://www.bipm.org/en/measurement-units/si-defining-constants（ボルツマン定数の値。一次資料。確認日 2026-10-18）
- ⑤ Wikipedia「2019 revision of the SI」https://en.wikipedia.org/wiki/2019_revision_of_the_SI（2019年5月20日の施行・ケルビンの新しい定義。参考。確認日 2026-10-18）
- ⑥ Wikipedia「Ernst Mach」https://en.wikipedia.org/wiki/Ernst_Mach（1897年の「原子があるとは思わない」。出典はユアグローの一般書で、逸話として扱う。参考。確認日 2026-10-18）
- ⑦ C. E. Shannon "A Mathematical Theory of Communication"（1948）https://people.math.harvard.edu/~ctm/home/text/others/shannon/entropy/entropy.pdf（「H は、たとえばボルツマンの有名な H 定理の H」・すべての確率が等しいとき H は最大で log n。一次資料。確認日 2026-10-18）
- ⑧ Wikipedia 日本語版「1877年」https://ja.wikipedia.org/wiki/1877年（『白鳥の湖』初演・エジソンの録音・西南戦争・東京大学・大森貝塚。参考。確認日 2026-10-18）
- ⑨ Wikipedia 日本語版「1906年」https://ja.wikipedia.org/wiki/1906年（サンフランシスコ地震・鉄道国有法・南満洲鉄道。参考。確認日 2026-10-18）
ボルツマンについてよくある質問
ボルツマンは何をした人？
オーストリアの物理学者で、統計力学を作った1人です。熱を無数の分子の運動の数え上げで説明し、1877年にはエントロピーを「その状態になる並び方の数」の対数で表しました。この考えは S = k log W という式にまとめられ（この形に書いたのはプランク）、ウィーンにある彼の墓石に刻まれています。
ボルツマン定数とは？
分子1個あたりのエネルギーと温度を結ぶ定数で、k ＝ 1.380 649 × 10⁻²³ J/K です。2019年5月20日から国際単位系（SI）を決める7つの定数の1つになり、温度の単位ケルビンはこの値で決められています。名付けたのはプランクで、S = k log W の k もこの定数です。
ボルツマンから何を学べる？
一つひとつを追えないときは「何通りあるか」を数える、という問いの立て方です。ボルツマンは分子の動きを追うのをやめ、状態の並び方を数えることで、なぜ物事が一方向に進むのかを説明しました。また、法則を「絶対」ではなく「ほとんど必ず」で語ることで、反論に耐える説明にした点も、見込みを語るときに役立ちます。
このクエストから得た武器を装備する
「一つひとつを追えないときは、「何通りあるか」を数える」。
この思考を、今のあなたの仕事にどう適用しますか？